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冪函數(shù)的定義是什么

導(dǎo)讀 關(guān)于冪函數(shù)的定義是什么這個問題很多朋友還不知道,今天小六來為大家解答以上的問題,現(xiàn)在讓我們一起來看看吧!1、冪函數(shù)的一般形式為y=x^a

關(guān)于冪函數(shù)的定義是什么這個問題很多朋友還不知道,今天小六來為大家解答以上的問題,現(xiàn)在讓我們一起來看看吧!

1、冪函數(shù)的一般形式為y=x^a。

2、  如果a取非零的有理數(shù)是比較容易理解的,不過初學(xué)者對于a取無理數(shù),則不太容易理解,在我們的課程里,不要求掌握如何理解指數(shù)為無理數(shù)的問題,因為這涉及到實數(shù)連續(xù)統(tǒng)的極為深刻的知識。

3、因此我們只要接受它作為一個已知事實即可。

4、  對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:  首先我們知道如果a=p/q,且p/q為既約分?jǐn)?shù)(即p、q互質(zhì)),q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。

5、當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時,設(shè)a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負(fù)數(shù),那么我們就可以知道:  排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數(shù);  排除了為0這種可能,即對于x<0或x>0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);  排除了為負(fù)數(shù)這種可能,即對于x為大于或等于0的所有實數(shù),a就不能是負(fù)數(shù)。

6、  總結(jié)起來,就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:  如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);  如果a為負(fù)數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0 的所有實數(shù)。

7、  在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

8、  在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

9、  而只有a為正數(shù),0才進入函數(shù)的值域。

10、  由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,  必須指出的是,當(dāng)x<0時,冪函數(shù)存在一個相當(dāng)棘手的內(nèi)在矛盾:[x^(a/b)]^(c/d)、[x^(c/d)]^(a/b)、x^(ac/bd)這三者相等嗎?若p/q是ac/bd的既約分?jǐn)?shù),x^(ac/bd)與x^(p/q)以及x^(kp/kq)(k為正整數(shù))又能相等嗎?也就是說,在x<0時,冪函數(shù)值的唯一性與冪指數(shù)的運算法則發(fā)生不可調(diào)和的沖突。

11、對此,現(xiàn)在有兩種觀點:一種堅持通過約定既約分?jǐn)?shù)來處理這一矛盾,能很好解決冪函數(shù)值的唯一性問題,但米指數(shù)的運算法則較難維系;另一種觀點則認(rèn)為,直接取消x<0這種情況,即規(guī)定冪函數(shù)的定義域為[0,+∞)或(0,+∞)。

12、看來這一問題有待專家學(xué)者們認(rèn)真討論后予以解決。

13、  因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.  可以看到:  (1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

14、 ?。?)當(dāng)a大于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

15、 ?。?)當(dāng)a大于1時,冪函數(shù)圖形下凹;當(dāng)a小于1大于0時,冪函數(shù)圖形上凸。

16、 ?。?)當(dāng)a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

17、 ?。?)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點。

18、 ?。?)顯然冪函數(shù)無界限。

本文分享完畢,希望對大家有所幫助。

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