均值不等式的推廣到n的證明（均值不等式的推廣）

關(guān)于均值不等式的推廣到n的證明，均值不等式的推廣這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。

2、 引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A＋B)n≥An＋nAn－1B。

3、 注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A＋B≥0,有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)。

4、 原題等價(jià)于：((a1＋a2＋…＋an )／n)n≥a1a2…an。

5、 當(dāng)n＝2時(shí)易證； 假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即 ((a1＋a2＋…＋ak )／k)k≥a1a2…ak。

6、那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不妨設(shè)ak＋1是a1，a2 ，…，ak＋1中最大者，則 k ak＋1≥a1＋a2＋…＋ak。

7、 設(shè)s＝a1＋a2＋…＋ak， ((a1＋a2＋…＋ak＋1)／(k＋1))k+1 ＝(s／k＋(k ak＋1－s)／(k(k＋1)))k+1 ≥(s／k)k+1＋(k＋1)(s／k)k(k ak＋1－s)／k(k＋1) 用引理 ＝(s／k)k ak＋1 ≥a1a2…ak＋1。

8、用歸納假設(shè)。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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