關(guān)于舒爾不等式取等條件,舒爾不等式這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道,今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題,現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧!
1、舒爾(Schur)不等式 說(shuō)明,對(duì)于所有的非負(fù)實(shí)數(shù)x、y、z和正數(shù)t,都有:已知x,y,z>=0 則∑(x^t)(x-y)(x-z)>=0 當(dāng)且僅當(dāng)x = y = z,或其中兩個(gè)數(shù)相等而另外一個(gè)為零時(shí),等號(hào)“=”成立。
2、當(dāng)t是正的偶數(shù)時(shí),不等式對(duì)所有的實(shí)數(shù)x、y和z都成立。
3、 舒爾(schur)不等式的證明: 不妨設(shè)x>=y>=z ∑x(x-y)(x-z) =x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y) >=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z) >=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z) =(x-y)^2(y-z) >=0 t不是1時(shí)同理可證 事實(shí)上,當(dāng)t為任意實(shí)數(shù)時(shí),我們?nèi)钥勺C明Schur不等式成立。
4、 Schur不等式雖不是聯(lián)賽大綱中規(guī)定掌握的不等式,但在聯(lián)賽不等式證明題中仍能發(fā)揮重要作用。
5、赫爾德不等式是數(shù)學(xué)分析的一條不等式,取名自?shī)W圖·赫爾德(Otto H?lder)。
6、這是一條揭示Lp空間的相互關(guān)系的基本不等式:設(shè)S為測(cè)度空間,,及,設(shè)f在Lp(S)內(nèi),g在Lq(S)內(nèi)。
7、則f g在L1(S)內(nèi),且有。
8、 若S取作{1,...,n}附計(jì)數(shù)測(cè)度,便得赫爾德不等式的特殊情形:對(duì)所有實(shí)數(shù)(或復(fù)數(shù))x1, ..., xn; y1, ..., yn,有。
9、 我們稱p和q互為赫爾德共軛。
10、若取S為自然數(shù)集附計(jì)數(shù)測(cè)度,便得與上類似的無(wú)窮級(jí)數(shù)不等式。
11、當(dāng)p = q = 2,便得到柯西-施瓦茨不等式。
12、赫爾德不等式可以證明Lp空間上一般化的三角不等式,閔可夫斯基不等式,和證明Lp空間是Lq空間的對(duì)偶。
13、[編輯] 備注 在赫爾德共軛的定義中,1/∞意味著零。
14、 如果1 ≤ p,q < ∞,那么||f ||p和||g||q表示(可能無(wú)窮的)表達(dá)式: 以及 如果p = ∞,那么||f ||∞表示|f |的本性上確界,||g||∞也類似。
15、 在赫爾德不等式的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味著 0。
16、把a(bǔ) > 0乘以∞,則得出 ∞。
17、 [編輯] 證明 赫爾德不等式有許多證明,主要的想法是楊氏不等式。
18、如果||f ||p = 0,那么f μ-幾乎處處為零,且乘積fg μ-幾乎處處為零,因此赫爾德不等式的左端為零。
19、如果||g||q = 0也是這樣。
20、因此,我們可以假設(shè)||f ||p > 0且||g||q > 0。
21、如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞,那么不等式的右端為無(wú)窮大。
22、因此,我們可以假設(shè)||f ||p和||g||q位于(0,∞)內(nèi)。
23、如果p = ∞且q = 1,那么幾乎處處有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|,不等式就可以從勒貝格積分的單調(diào)性推出。
24、對(duì)于p = 1和q = ∞,情況也類似。
25、因此,我們還可以假設(shè)p, q ∈ (1,∞)。
26、分別用f和g除||f ||p||g||q,我們可以假設(shè):我們現(xiàn)在使用楊氏不等式:對(duì)于所有非負(fù)的a和b,當(dāng)且僅當(dāng)ap = bq時(shí)等式成立。
27、因此:兩邊積分,得:這便證明了赫爾德不等式。
28、在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假設(shè)下,等式成立當(dāng)且僅當(dāng)幾乎處處有|f |p = |g|q。
29、更一般地,如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)內(nèi),那么赫爾德不等式變?yōu)榈仁?,?dāng)且僅當(dāng)存在α, β > 0(即α = ||g||q且β = ||f ||p),使得:μ-幾乎處處 (*) ||f ||p = 0的情況對(duì)應(yīng)于(*)中的β = 0。
30、||g||q = 的情況對(duì)應(yīng)于(*)中的α = 0。
31、****************************希望對(duì)你有用。
本文分享完畢,希望對(duì)大家有所幫助。
標(biāo)簽:
免責(zé)聲明:本文由用戶上傳,如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除!