關于舒爾不等式取等條件,舒爾不等式這個問題很多朋友還不知道,今天小六來為大家解答以上的問題,現(xiàn)在讓我們一起來看看吧!
1、舒爾(Schur)不等式 說明,對于所有的非負實數(shù)x、y、z和正數(shù)t,都有:已知x,y,z>=0 則∑(x^t)(x-y)(x-z)>=0 當且僅當x = y = z,或其中兩個數(shù)相等而另外一個為零時,等號“=”成立。
2、當t是正的偶數(shù)時,不等式對所有的實數(shù)x、y和z都成立。
3、 舒爾(schur)不等式的證明: 不妨設x>=y>=z ∑x(x-y)(x-z) =x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y) >=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z) >=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z) =(x-y)^2(y-z) >=0 t不是1時同理可證 事實上,當t為任意實數(shù)時,我們仍可證明Schur不等式成立。
4、 Schur不等式雖不是聯(lián)賽大綱中規(guī)定掌握的不等式,但在聯(lián)賽不等式證明題中仍能發(fā)揮重要作用。
5、赫爾德不等式是數(shù)學分析的一條不等式,取名自奧圖·赫爾德(Otto H?lder)。
6、這是一條揭示Lp空間的相互關系的基本不等式:設S為測度空間,,及,設f在Lp(S)內,g在Lq(S)內。
7、則f g在L1(S)內,且有。
8、 若S取作{1,...,n}附計數(shù)測度,便得赫爾德不等式的特殊情形:對所有實數(shù)(或復數(shù))x1, ..., xn; y1, ..., yn,有。
9、 我們稱p和q互為赫爾德共軛。
10、若取S為自然數(shù)集附計數(shù)測度,便得與上類似的無窮級數(shù)不等式。
11、當p = q = 2,便得到柯西-施瓦茨不等式。
12、赫爾德不等式可以證明Lp空間上一般化的三角不等式,閔可夫斯基不等式,和證明Lp空間是Lq空間的對偶。
13、[編輯] 備注 在赫爾德共軛的定義中,1/∞意味著零。
14、 如果1 ≤ p,q < ∞,那么||f ||p和||g||q表示(可能無窮的)表達式: 以及 如果p = ∞,那么||f ||∞表示|f |的本性上確界,||g||∞也類似。
15、 在赫爾德不等式的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味著 0。
16、把a > 0乘以∞,則得出 ∞。
17、 [編輯] 證明 赫爾德不等式有許多證明,主要的想法是楊氏不等式。
18、如果||f ||p = 0,那么f μ-幾乎處處為零,且乘積fg μ-幾乎處處為零,因此赫爾德不等式的左端為零。
19、如果||g||q = 0也是這樣。
20、因此,我們可以假設||f ||p > 0且||g||q > 0。
21、如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞,那么不等式的右端為無窮大。
22、因此,我們可以假設||f ||p和||g||q位于(0,∞)內。
23、如果p = ∞且q = 1,那么幾乎處處有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|,不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。
24、對于p = 1和q = ∞,情況也類似。
25、因此,我們還可以假設p, q ∈ (1,∞)。
26、分別用f和g除||f ||p||g||q,我們可以假設:我們現(xiàn)在使用楊氏不等式:對于所有非負的a和b,當且僅當ap = bq時等式成立。
27、因此:兩邊積分,得:這便證明了赫爾德不等式。
28、在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假設下,等式成立當且僅當幾乎處處有|f |p = |g|q。
29、更一般地,如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)內,那么赫爾德不等式變?yōu)榈仁剑斍覂H當存在α, β > 0(即α = ||g||q且β = ||f ||p),使得:μ-幾乎處處 (*) ||f ||p = 0的情況對應于(*)中的β = 0。
30、||g||q = 的情況對應于(*)中的α = 0。
31、****************************希望對你有用。
本文分享完畢,希望對大家有所幫助。
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