多項式的因式分解筆記（多項式的因式分解公式）

關(guān)于多項式的因式分解筆記，多項式的因式分解公式這個問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、⑴提公因式法 各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。

2、 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

3、 具體方法：當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項式的次數(shù)取最低的。

4、 如果多項式的第一項是負(fù)的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)。

5、提出“-”號時，多項式的各項都要變號。

6、 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

7、 注意：把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

8、 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2； 注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍。

9、 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)； 完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3． 其余公式請參看上邊的圖片。

10、 例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2(參看右圖)． [編輯本段]競賽用到的方法 ⑶分組分解法 分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學(xué)習(xí)這個知識。

11、 能分組分解的方程有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。

12、 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我們把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。

13、 同樣，這道題也可以這樣做。

14、 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 幾道例題： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 說明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。

15、 2. x3-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合輕松解決。

16、 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。

17、 ⑷十字相乘法 這種方法有兩種情況。

18、 ①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點(diǎn)是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)的和。

19、因此，可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 圖示如下： a b × c d 例如：因為 1 -3 × 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中 ⑸拆項、添項法 這種方法指把多項式的某一項拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。

20、要注意，必須在與原多項式相等的原則下進(jìn)行變形。

21、 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)． ⑹配方法 對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。

22、屬于拆項、補(bǔ)項法的一種特殊情況。

23、也要注意必須在與原多項式相等的原則下進(jìn)行變形。

24、 例如：x^2+3x-40 =x^2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5)． ⑺應(yīng)用因式定理 對于多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。

25、(事實上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．) ⑻換元法 有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。

26、 注意:換元后勿忘還元. 例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時，可以令y=x^2+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y^2+3y+2-12=y^2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x^2+x+5)(x^2+x-2) =(x^2+x+5)(x+2)(x-1)． 也可以參看右圖。

27、 ⑼求根法 令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ． 例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0， 則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1． 所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)． ⑽圖象法 令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)． 與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。

28、 例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6時，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6. 作出其圖像，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2 則x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)． ⑾主元法 先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。

29、 ⑿特殊值法 將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

30、 例如在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則 x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105， 將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7 ． 注意到多項式中最高項的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值， 則x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗證后的確如此。

31、 ⒀待定系數(shù)法 首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。

32、 例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。

33、 于是設(shè)x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4． 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 也可以參看右圖。

34、 ⒁雙十字相乘法 雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。

35、用一道例題來說明如何使用。

36、 例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12． 分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。

37、 解： x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 雙十字相乘法其步驟為： ①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)； ②先依一個字母（如y）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項。

38、如十字相乘圖②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)； ③再按另一個字母（如x）的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。

39、 [編輯本段]多項式因式分解的一般步驟： ①如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式； ②如果各項沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補(bǔ)項法來分解； ④分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

40、 也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。

41、十字相乘試一試，分組分解要合適。

42、” 幾道例題 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補(bǔ)項） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求證：對于任何實數(shù)x,y，下式的值都不會為33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． （分解因式的過程也可以參看右圖。

43、） 當(dāng)y=0時，原式=x^5不等于33；當(dāng)y不等于0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。

44、 3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。

45、 分析：此題實質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項式進(jìn)行因式分解。

46、 證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三條邊， ∴a＋2b＋c＞0． ∴a－c＝0， 即a＝c，△ABC為等腰三角形。

47、 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

48、 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)． [編輯本段]因式分解四個注意： 因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負(fù)常提負(fù)，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號里面分到“底”。

49、 現(xiàn)舉下例 可供參考 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

50、 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 這里的“負(fù)”，指“負(fù)號”。

51、如果多項式的第一項是負(fù)的，一般要提出負(fù)號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正的。

52、防止學(xué)生出現(xiàn)諸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的錯誤 例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。

53、解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 這里的“公”指“公因式”。

54、如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進(jìn)一步分解因式；這里的“1”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，括號內(nèi)切勿漏掉1。

55、 分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

56、即分解到底，不能半途而廢的意思。

57、其中包含提公因式要一次性提“干凈”，不留“尾巴”，并使每一個括號內(nèi)的多項式都不能再分解。

58、防止學(xué)生出現(xiàn)諸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y(tǒng)2（4x4－5x2－9）＝y(tǒng)2（x2＋1）（4x2－9）的錯誤。

59、 考試時應(yīng)注意： 在沒有說明化到實數(shù)時，一般只化到有理數(shù)就夠了 由此看來，因式分解中的四個注意貫穿于因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”是一脈相承的。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。

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