柯西不等式的應(yīng)用

【柯西不等式的簡介】 柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的"留數(shù)"問題時得到的.但從歷史的角度講,該不等式應(yīng)當稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因為,正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之,并將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。 柯西不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解?？稍谧C明不等式，解三角形相關(guān)問題，求函數(shù)最值，解方程等問題的方面得到應(yīng)用。 [編輯本段]【柯西不等式的證法】 柯西不等式的一般證法有以下幾種： ■①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2. 我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則我們知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函數(shù)無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移項得到結(jié)論。 ■②用向量來證. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX． 因為cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2) 這就證明了不等式． 柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法． [編輯本段]【柯西不等式的應(yīng)用】 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們在教學(xué)中應(yīng)給予極大的重視。 ■巧拆常數(shù)： 例：設(shè)a、b、c 為正數(shù)且各不相等。 求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c) 分析：∵a 、b 、c 均為正數(shù) ∴為證結(jié)論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1) 證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立 ∴原不等式成立。 像這樣的例子還有很多，詞條里不再一一列舉，大家可以在參考資料里找到柯西不等式的證明及應(yīng)用的具體文獻． [編輯本段]【柯西簡介】 柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。 他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當深厚的，很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式...在數(shù)學(xué)寫作上，他是被認為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經(jīng)典之作，不過并不是他所有的創(chuàng)作質(zhì)量都很高，因此他還曾被人批評高產(chǎn)而輕率，這點倒是與數(shù)學(xué)王子相反，據(jù)說，法國科學(xué)院'會刊'創(chuàng)刊的時候，由于柯西的作品實在太多，以致于科學(xué)院要負擔(dān)很大的印刷費用，超出科學(xué)院的預(yù)算，因此，科學(xué)院后來規(guī)定論文最長的只能夠到四頁，所以，柯西較長的論文只得投稿到其他地方。 柯西在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、誤差理論以及天體力學(xué)、光學(xué)、彈性力學(xué)諸方面都有出色的工作。特別是，他弄清了彈性理論的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為彈性力學(xué)奠定了嚴格的理論基礎(chǔ)。

標簽：