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1、為了給出自然數(shù)的嚴(yán)格定義,皮亞諾采用序數(shù)理論提出自然數(shù)的5條公理,被稱為皮亞諾公理。
2、這五條公理用非形式化的方法敘述如下: 1是自然數(shù); 每一個(gè)確定的自然數(shù)n都有一個(gè)確定的后繼者,記作n+1。
3、n+1也是自然數(shù); 如果m、n都是自然數(shù),并且m+1 = n+1,那么m = n; 1不是任何自然數(shù)的后繼者; 如果某個(gè)集合S具有性質(zhì): 1在S中; 若n在S中,則n+1也在S中。
4、 那么S=N。
5、(公理5保證了數(shù)學(xué)歸納法的正確性,從而被稱為歸納法原理)若將0也視作自然數(shù),則公理中的1要換成0,并且刪除第4條。
6、第五條是歸納公理,它確保了在自然數(shù)集中數(shù)學(xué)歸納法的成立,也是對(duì)自然數(shù)集形態(tài)的一種限定。
7、因?yàn)榧词故怯邢藜?,也存在環(huán)形映射滿足第二條(自單射)。
8、而只有自然數(shù)集才能滿足所有這五條的限定。
9、戴德金-皮亞諾結(jié)構(gòu)一個(gè)戴德金-皮亞諾結(jié)構(gòu)為一滿足下列條件的三元組(X,x,f): X是一集合,x為X中一元素,f是X到自身的映射。
10、 x不在f的值域內(nèi)。
11、(對(duì)應(yīng)上面定義一節(jié)的公理4) f為一單射。
12、(對(duì)應(yīng)上面的公理3) 若A為X的子集并滿足: x屬于A; 若a屬于A,則f(a)亦屬于A 則A=X。
13、 集合論形式的構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的構(gòu)造方法如下:定義,代表空集。
14、然后對(duì)于任何集合a,設(shè)。
15、S(a)稱為a的后繼,S相當(dāng)于后繼函數(shù)。
16、根據(jù)無窮性公理,自然數(shù)集存在。
17、考慮所有包含0且在S之下封閉的集合,然后取它們的交集就得到了自然數(shù)集。
18、可以驗(yàn)證這些集合是符合皮亞諾公理的。
19、如此,每個(gè)自然數(shù)都等同于由所有更小的自然數(shù)所組成的集合,即在此定義下,在集合n內(nèi)就有n個(gè)元素;而若n小于m,則n會(huì)是m的子集。
本文分享完畢,希望對(duì)大家有所幫助。
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