實(shí)數(shù)的定義包括負(fù)數(shù)嗎（實(shí)數(shù)的定義）

關(guān)于實(shí)數(shù)的定義包括負(fù)數(shù)嗎，實(shí)數(shù)的定義這個(gè)問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)。

2、其中無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)就包括無限循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)、整數(shù)。

3、數(shù)學(xué)上，實(shí)數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的數(shù)。

4、本來實(shí)數(shù)僅稱作數(shù)，后來引入了虛數(shù)概念，原本的數(shù)稱作“實(shí)數(shù)”--意義是“實(shí)在的數(shù)”。

5、實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正數(shù)，負(fù)數(shù)和零三類。

6、實(shí)數(shù)集合通常用字母 R 或 R^n 表示。

7、而 R^n 表示 n 維實(shí)數(shù)空間。

8、實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。

9、實(shí)數(shù)是實(shí)分析的核心研究對象。

10、實(shí)數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。

11、理論上，任何實(shí)數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無窮的數(shù)列(可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的)。

12、在實(shí)際運(yùn)用中，實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)(保留小數(shù)點(diǎn)后 n 位，n 為正整數(shù))。

13、在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，由于計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限的小數(shù)位數(shù)，實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)來表示。

14、①相反數(shù)(只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們就說其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)) 實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a ②絕對值(在數(shù)軸上一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)0的距離) 實(shí)數(shù)a的絕對值是:│a│=①a為正數(shù)時(shí)，|a|=a ②a為0時(shí)， |a|=0 ③a為負(fù)數(shù)時(shí)，|a|=-a ③倒數(shù) (兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是1，則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)) 實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是:1/a (a≠0)相關(guān)定義從有理數(shù)構(gòu)造實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)可以用通過收斂于一個(gè)唯一實(shí)數(shù)的十進(jìn)制或二進(jìn)制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構(gòu)造為有理數(shù)的補(bǔ)全。

15、實(shí)數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構(gòu)造出來。

16、這里給出其中一種，其他方法請?jiān)斠妼?shí)數(shù)的構(gòu)造。

17、公理的方法設(shè) R 是所有實(shí)數(shù)的集合，則:集合 R 是一個(gè)域: 可以作加、減、乘、除運(yùn)算，且有如交換律，結(jié)合律等常見性質(zhì)。

18、 域 R 是個(gè)有序域，即存在全序關(guān)系 ≥ ，對所有實(shí)數(shù) x, y 和 z: 若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z; 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。

19、 集合 R 滿足戴德金完備性，即任意 R 的非空子集 S (S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內(nèi)有上界，那么 S 在 R 內(nèi)有上確界。

20、 最后一條是區(qū)分實(shí)數(shù)和有理數(shù)的關(guān)鍵。

21、例如所有平方小于 2 的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如 1.5;但是不存在有理數(shù)上確界(因?yàn)?√2 不是有理數(shù))。

22、實(shí)數(shù)通過上述性質(zhì)唯一確定。

23、更準(zhǔn)確的說，給定任意兩個(gè)戴德金完備的有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構(gòu)，即代數(shù)學(xué)上兩者可看作是相同的。

24、相關(guān)性質(zhì)基本運(yùn)算實(shí)數(shù)可實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算有加、減、乘、除、平方等，對非負(fù)數(shù)還可以進(jìn)行開方運(yùn)算。

25、實(shí)數(shù)加、減、乘、除(除數(shù)不為零)、平方后結(jié)果還是實(shí)數(shù)。

26、任何實(shí)數(shù)都可以開奇次方，結(jié)果仍是實(shí)數(shù)，只有非負(fù)實(shí)數(shù)，才能開偶次方其結(jié)果還是實(shí)數(shù)。

27、完備性作為度量空間或一致空間，實(shí)數(shù)集合是個(gè)完備空間，它有以下性質(zhì):所有實(shí)數(shù)的柯西序列都有一個(gè)實(shí)數(shù)極限。

28、 有理數(shù)集合就不是完備空間。

29、例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。

30、實(shí)際上，它有個(gè)實(shí)數(shù)極限 √2。

31、實(shí)數(shù)是有理數(shù)的完備化--這亦是構(gòu)造實(shí)數(shù)集合的一種方法。

32、極限的存在是微積分的基礎(chǔ)。

33、實(shí)數(shù)的完備性等價(jià)于歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。

34、“完備的有序域”實(shí)數(shù)集合通常被描述為“完備的有序域”，這可以幾種解釋。

35、首先，有序域可以是完備格。

36、然而，很容易發(fā)現(xiàn)沒有有序域會(huì)是完備格。

37、這是由于有序域沒有最大元素(對任意元素 z，z + 1 將更大)。

38、所以，這里的“完備”不是完備格的意思。

39、 另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經(jīng)定義。

40、上述的唯一性也說明了這里的“完備”是指戴德金完備性的意思。

41、這個(gè)完備性的意思非常接近采用戴德金分割來構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從(有理數(shù))有序域出發(fā)，通過標(biāo)準(zhǔn)的方法建立戴德金完備性。

42、 這兩個(gè)完備性的概念都忽略了域的結(jié)構(gòu)。

43、然而，有序群(域是種特殊的群)可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。

44、上述完備性中所述的只是一個(gè)特例。

45、(這里采用一致空間中的完備性概念，而不是相關(guān)的人們熟知的度量空間的完備性，這是由于度量空間的定義依賴于實(shí)數(shù)的性質(zhì)。

46、)當(dāng)然，R 并不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。

47、實(shí)際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見。

48、可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的(當(dāng)然反之亦然)。

49、這個(gè)完備性的意思非常接近采用柯西序列來構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從(有理數(shù))阿基米德域出發(fā)，通過標(biāo)準(zhǔn)的方法建立一致完備性。

50、 “完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達(dá)一些不同于上述的意思。

51、他認(rèn)為，實(shí)數(shù)構(gòu)成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。

52、這樣 R 是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。

53、這個(gè)完備性的意思非常接近用超實(shí)數(shù)來構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從某個(gè)包含所有(超實(shí)數(shù))有序域的純類出發(fā)，從其子域中找出最大的阿基米德域。

54、 高級(jí)性質(zhì)實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的，也就是說，實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)嚴(yán)格多于自然數(shù)的個(gè)數(shù)(盡管兩者都是無窮大)。

55、這一點(diǎn)，可以通過康托爾對角線方法證明。

56、實(shí)際上，實(shí)數(shù)集的勢為 2ω(請參見連續(xù)統(tǒng)的勢)，即自然數(shù)集的冪集的勢。

57、由于實(shí)數(shù)集中只有可數(shù)集個(gè)數(shù)的元素可能是代數(shù)數(shù)，絕大多數(shù)實(shí)數(shù)是超越數(shù)。

58、實(shí)數(shù)集的子集中，不存在其勢嚴(yán)格大于自然數(shù)集的勢且嚴(yán)格小于實(shí)數(shù)集的勢的集合，這就是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。

59、該假設(shè)不能被證明是否正確，這是因?yàn)樗图险摰墓聿幌嚓P(guān)。

60、 所有非負(fù)實(shí)數(shù)的平方根屬于 R，但這對負(fù)數(shù)不成立。

61、這表明 R 上的序是由其代數(shù)結(jié)構(gòu)確定的。

62、而且，所有奇數(shù)次多項(xiàng)式至少有一個(gè)根屬于 R。

63、這兩個(gè)性質(zhì)使 R成為實(shí)封閉域的最主要的實(shí)例。

64、證明這一點(diǎn)就是對代數(shù)基本定理的證明的前半部分。

65、 實(shí)數(shù)集擁有一個(gè)規(guī)范的測度，即勒貝格測度。

66、 實(shí)數(shù)集的上確界公理用到了實(shí)數(shù)集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。

67、不可能只采用一階邏輯來刻畫實(shí)數(shù)集:1. L?wenheim-Skolem定理說明，存在一個(gè)實(shí)數(shù)集的可數(shù)稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實(shí)數(shù)集自身完全相同的命題;2. 超實(shí)數(shù)的集合遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 R，但也同樣滿足和 R 一樣的一階邏輯命題。

68、滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標(biāo)準(zhǔn)模型。

69、這就是非標(biāo)準(zhǔn)分析的研究內(nèi)容，在非標(biāo)準(zhǔn)模型中證明一階邏輯命題(可能比在 R 中證明要簡單一些)，從而確定這些命題在 R 中也成立。

70、 拓?fù)湫再|(zhì)實(shí)數(shù)集構(gòu)成一個(gè)度量空間:x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。

71、作為一個(gè)全序集，它也具有序拓?fù)洹?/p>

72、這里，從度量和序關(guān)系得到的拓?fù)湎嗤?/p>

73、實(shí)數(shù)集又是 1 維的可縮空間(所以也是連通空間)、局部緊致空間、可分空間、貝利空間。

74、但實(shí)數(shù)集不是緊致空間。

75、這些可以通過特定的性質(zhì)來確定，例如，無限連續(xù)可分的序拓?fù)浔仨毢蛯?shí)數(shù)集同胚。

76、以下是實(shí)數(shù)的拓?fù)湫再|(zhì)總覽:令 a 為一實(shí)數(shù)。

77、a 的鄰域是實(shí)數(shù)集中一個(gè)包括一段含有 a 的線段的子集。

78、 R 是可分空間。

79、 Q 在 R 中處處稠密。

80、 R的開集是開區(qū)間的聯(lián)集。

81、 R的緊子集是有界閉集。

82、特別是:所有含端點(diǎn)的有限線段都是緊子集。

83、 每個(gè)R中的有界序列都有收斂子序列。

84、 R是連通且單連通的。

85、 R中的連通子集是線段、射線與R本身。

86、由此性質(zhì)可迅速導(dǎo)出中間值定理。

87、 擴(kuò)展與一般化實(shí)數(shù)集可以在幾種不同的方面進(jìn)行擴(kuò)展和一般化:最自然的擴(kuò)展可能就是復(fù)數(shù)了。

88、復(fù)數(shù)集包含了所有多項(xiàng)式的根。

89、但是，復(fù)數(shù)集不是一個(gè)有序域。

90、 實(shí)數(shù)集擴(kuò)展的有序域是超實(shí)數(shù)的集合，包含無窮小和無窮大。

91、它不是一個(gè)阿基米德域。

92、 有時(shí)候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入實(shí)數(shù)集，構(gòu)成擴(kuò)展的實(shí)數(shù)軸。

93、它是一個(gè)緊致空間，而不是一個(gè)域，但它保留了許多實(shí)數(shù)的性質(zhì)。

94、 希爾伯特空間的自伴隨算子在許多方面一般化實(shí)數(shù)集:它們可以是有序的(盡管不一定全序)、完備的;它們所有的特征值都是實(shí)數(shù);它們構(gòu)成一個(gè)實(shí)結(jié)合代數(shù)。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。

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