冪級(jí)數(shù)的阿貝爾定理（阿貝爾定理）

關(guān)于冪級(jí)數(shù)的阿貝爾定理，阿貝爾定理這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、論證阿貝爾定理的錯(cuò)誤 一元五次或更高次的一元方程沒(méi)有一般的代數(shù)求根公式存在，被數(shù)學(xué)史上稱之為阿貝爾定理，可惜原來(lái)是一個(gè)錯(cuò)誤定理。

2、下面讓我來(lái)論證他的錯(cuò)誤性。

3、 為了讓諸位更清楚我的論證過(guò)程 首先我把我的大致論證思路作一個(gè)簡(jiǎn)單介紹。

4、我是這樣想的，能不能找出一條方程求根公式的推導(dǎo)規(guī)律呢？結(jié)果發(fā)現(xiàn)完全可能，原來(lái)有二個(gè)沒(méi)有被人類認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)新定理可以幫我們的忙。

5、一個(gè)是同解方程判別定理。

6、這個(gè)定理的大意是：任意二個(gè)一元高次方程，要知道它們是否互為同解方程，都可通過(guò)二個(gè)方程的系數(shù)關(guān)系來(lái)判別。

7、判別式可通過(guò)韋達(dá)定理推算出來(lái)。

8、判別式等于零，它們必互為同解方程。

9、否則必不是同解方程。

10、 第二個(gè)是公解方程式必可求定理。

11、大意是：二個(gè)互為同解的一元高次方程，一定可推導(dǎo)出它們的公解方程式。

12、后來(lái)，我就想如何利用二個(gè)數(shù)學(xué)新定理應(yīng)用到一元高次方程求根公式的推導(dǎo)上來(lái)。

13、結(jié)果我們把方程求根問(wèn)題轉(zhuǎn)移到求另一同解方程的系數(shù)問(wèn)題。

14、而另一同解方程系數(shù)有二個(gè)或二個(gè)以上，只要圍繞判別式等于零的函數(shù)關(guān)系，對(duì)另一方程系數(shù)取值，都可得到和原方程有同解的方程。

15、為使待求的同解方程的所有系數(shù)都可求出，我試圖將其中一個(gè)系數(shù)通過(guò)配方的辦法配成在一個(gè)括號(hào)里，那么，要達(dá)到這個(gè)目的其它系數(shù)該取什何值呢，結(jié)果解一個(gè)降了次的方程式。

16、而配在一個(gè)括號(hào)里的那個(gè)系數(shù)可通過(guò)已求出的系數(shù)，方程移項(xiàng)開(kāi)方的辦法求出。

17、那么同解方程就算出來(lái)了。

18、再根據(jù)定理公解方程式必求定理算出那個(gè)相同的解。

19、 如何推出驗(yàn)證二方程是否為同解方程的判別式來(lái)呢，我是這樣做的，假設(shè)其中一個(gè)方程的所有根分別為未知數(shù)X1，X2，X3等等把這些未知根分別代入到另一方程等式左邊，每個(gè)未知根代入的情況當(dāng)成一個(gè)因式，各因式相乘再展開(kāi)，展開(kāi)后，把它們按阿貝爾族形式的分類排列，再通過(guò)韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，將未知根X1，X2，X3等等全部換算成方程的系數(shù)已知數(shù)，這樣系數(shù)組成的判別式就出來(lái)了，判別式等于零時(shí)，二個(gè)方程必是同解方程。

20、否則必不是同解方程。

21、順便說(shuō)明一下，利用判別定理還可以對(duì)高次方程組進(jìn)行快速消元。

22、 那么第二個(gè)定理是如何推導(dǎo)出來(lái)的呢，我們知道二個(gè)方程之間有幾種如下情況：一種是二個(gè)一元方程之間公共著多個(gè)解，即一個(gè)方程的所有解，完全存在在另一個(gè)方程中，這種情況其實(shí)就是一個(gè)方程的左邊能完全整除另一方程左邊。

23、二種是一個(gè)方程和另一方程有多個(gè)或一個(gè)相同的解，但不完全含另一方程的所有解。

24、這種情況其實(shí)就是一個(gè)方程左邊不能完全整除另一方程左邊，它必出現(xiàn)余式，而余式不是以常數(shù)出現(xiàn)，如果把余式寫(xiě)成等于零的方程，則余式等于零的方程必含有二個(gè)方程公共相同根存在，這是因?yàn)檩^高次方程的左邊，均可化成二部分，即可整除另一方程左邊的部分和剩下不可以再除的余式部分，而可整除部分用另一方程任意一根代入都是零，而余式部分卻不同，它用二方程之間的任意一個(gè)同解根代入必為零，否則二個(gè)方程不存在同解，因此，余式等于零的方程中，含有二個(gè)方程的所有公共根，而此方程方次，比另一方程至少要低。

25、第三種就是二個(gè)方程沒(méi)有同解。

26、沒(méi)有同解的方程，對(duì)我們研究推導(dǎo)公式，無(wú)任何邦助，不再討論。

27、而第一種情況，我們無(wú)法降次求解，我們需要的是第二種情況。

28、如果第二種情況下，余式等于零的方程中除含二方程同解根之外還含雜根，我們還可以消除雜根，具體方法是，把余式等于零的方程變成最高次項(xiàng)系數(shù)變成1的形式，而先前二個(gè)方程中方次較低的方程左邊又可以化成二部分，一部分是能整除變更后的余式方程左邊，及不可再除的余式，同理，不可再除的余式取為零，變成方程式，它同樣含所有同解根的，情況同前類似，以此類推，一直可推出不再含雜根的公解方程式。

29、 因?yàn)橛卸€(gè)新定理可以利用，利用判別定理，我們就可以圍繞判別式等于零來(lái)求另一個(gè)和原方程有同解的方程的系數(shù)，只要另一方程在通常情況下，不含原方程所有的解，則根據(jù)公解方程式必可求定理，得出一個(gè)降了次的方程式。

30、一元三次方程和一元四次方程求根公式推導(dǎo)過(guò)程較簡(jiǎn)單，只要推導(dǎo)出它們分別與一元二次方程有同解的方程來(lái)，再通過(guò)公解方程的求法，便求出求根公式，一元五次方程要復(fù)雜很多，涉及如何將多元方程組利用多余的變量的設(shè)置化成特殊高次方程組的過(guò)程，思考這個(gè)問(wèn)題我花了五年時(shí)間終于在2004年找到規(guī)律，下面是推導(dǎo)一元五次方程求根公式的說(shuō)明。

31、 同上理，我只要找到一個(gè)和一元五次方程有同解的一元高次方程，且這個(gè)高次方程通常情況下不包含一元五次方程所有根在內(nèi)，根據(jù)公解方程必可求定理，我們就可以得出一個(gè)低于五次方的一元方程。

32、我們假設(shè)有一個(gè)一元十一次方程和這個(gè)一元五次方程是同解方程。

33、因此把求方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)到求另一方程系數(shù)問(wèn)題，二個(gè)方程分別必可寫(xiě)成最高次方系數(shù)均為1的基本形式。

34、而從高至低方程系數(shù)均用字母表示，先推導(dǎo)出二個(gè)方程有同解的判別式，推導(dǎo)過(guò)程如下；用一元五次方程的五個(gè)未知根X1，X2，X3，X4，X5分別代入一元十一次方程左邊，各根代入的情況作一個(gè)因式，共五個(gè)因式相乘，展開(kāi)，按阿貝爾族的排列形式，根據(jù)韋達(dá)定理，根與系數(shù)的等量代換，所有按阿貝爾族排列的都可換算成一元五次方程的系數(shù)來(lái)表示，因此可推算出判別二方程是否為同解方程的系數(shù)組成的判別式。

35、在推導(dǎo)判別式時(shí)，一元十一次方程的系數(shù)，在每個(gè)因式中都是以一次方形式出現(xiàn)，五個(gè)因式相乘展開(kāi)的結(jié)果必是十一元五次代數(shù)式，而X1，X2，X3，X4，X5都可變成用一元五次方程的系數(shù)來(lái)表示，圍繞判別式等于零這個(gè)中心來(lái)對(duì)一元十一次方程的系數(shù)取值，都可得到與一元五次方程有同解的方程。

36、維繞判別式等于零組成的方程來(lái)求一元十一次方程的所有系數(shù)，我可以這樣做，在判別式等于零方程里，從十一個(gè)系數(shù)中選擇一個(gè)系數(shù)配成特殊可解的一元五次方程形式，由因?yàn)槲覀冇衅渌畟€(gè)系數(shù)的值可以任我來(lái)設(shè)值，要配成特殊一元五次方形式應(yīng)當(dāng)沒(méi)有多大問(wèn)題，那么啥樣的一元五次方程可以用之前人類已掌握的知識(shí)解決呢？一種是未知數(shù)全在一個(gè)括號(hào)5次方內(nèi)的，第二種為系數(shù)之間有另存在一種特殊關(guān)系的，第三種是能參照一元三次方程公式創(chuàng)始人做法的特殊一元五次方程，通過(guò)多次嘗試，淘汰前二種可能，再試一試能否變成最后那種方程。

37、有人會(huì)問(wèn)那是一種怎樣的方程呢？在此我必須要介紹一下那種特殊方程，即方程的五次方項(xiàng)系數(shù)為1，方程四次方項(xiàng)和二次方項(xiàng)的系數(shù)是0，方程立方項(xiàng)系數(shù)的平方是-5倍于一次方項(xiàng)系數(shù)，這種特殊方程可沿用推導(dǎo)一元三次方公式的類似辦法解決。

38、在此順便說(shuō)明一下，有一種特殊的一元七次方程也可以利用此種辦法推導(dǎo)公式暫且不論。

39、由于版面不支持上標(biāo)下標(biāo)，會(huì)把上標(biāo)下標(biāo)與橫標(biāo)相混淆，請(qǐng)大家花些時(shí)間自已去驗(yàn)證一下。

40、 要把一元五次方程中四次方項(xiàng)的系數(shù)變成0 ，大家都知道可參照一元二次方程配方的辦法變成新方程，新方程未知數(shù)中含有原方程未知數(shù)成份，并不需要對(duì)其他十個(gè)系數(shù)進(jìn)行另外設(shè)值。

41、變成新方程后，如果再將新方程其它系數(shù)特殊化就要通過(guò)原來(lái)十個(gè)系數(shù)的設(shè)值了，首先把新方程的平方項(xiàng)系數(shù)設(shè)值成零，其實(shí)，就是含上術(shù)十個(gè)系數(shù)的三次方函數(shù)關(guān)系式，而把新方程四次方項(xiàng)系數(shù)的平方設(shè)成等于新方程一次方系數(shù)的-5倍，其實(shí)就是關(guān)于含上術(shù)十個(gè)系數(shù)的四次方函數(shù)關(guān)系式，這二個(gè)關(guān)系式組成十元四次二式方程組，如何利用多余的元素設(shè)值變成特殊的二元四次二式方程組呢？仍然是利用對(duì)多余元素設(shè)值達(dá)到我們配成立方的辦法，我們的任務(wù)就是把上面方程組中第一個(gè)關(guān)系式變成只含二個(gè)元素代數(shù)式的括號(hào)立方減系數(shù)乘只含一個(gè)元素的代數(shù)式括號(hào)立方等于零的方程式。

42、做法如下： 從上面多元方程組中的第一個(gè)關(guān)系式中選擇其中一個(gè)元素作為配方對(duì)象，并利用其他元素的設(shè)值，幫助這個(gè)元素能配成在一個(gè)括號(hào)立方之內(nèi)，同上理，要把平方項(xiàng)系數(shù)配成零，并不需要對(duì)其他多余元素另外設(shè)值，也只是變成了新元素的方程，我們只要把新元素方程的一次方系數(shù)設(shè)成零的函數(shù)，其實(shí)就是另9個(gè)元素的二次函數(shù)關(guān)系式，這樣設(shè)好后，有一個(gè)元素就全配方在一個(gè)括號(hào)立方里了，括號(hào)外面為另9個(gè)元素三次方多項(xiàng)式了，此時(shí)我們不必急于另選一個(gè)元素配在一個(gè)括號(hào)立方之內(nèi)。

43、我們還有任務(wù)沒(méi)完成，前面我們把新元素方程一次方項(xiàng)系數(shù)設(shè)成零時(shí)，其實(shí)仍是多元二次函數(shù)形式，用其它元素來(lái)表示其中某元素時(shí)必含根式，因此還須降次，降次方法如下： 因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，我們選擇其中一個(gè)元素全配方在括號(hào)平方內(nèi)時(shí)，并不需要對(duì)其他元素另外設(shè)值就能辦到，而括號(hào)外的我們又選擇另一個(gè)也同樣又配在另一括號(hào)平方之內(nèi)，如此一個(gè)一個(gè)地選擇元素配方，這樣配成9個(gè)括號(hào)和一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，共有10項(xiàng)了，如果我們?cè)诖撕瘮?shù)下再選前8個(gè)括號(hào)中每二個(gè)括號(hào)之和或差設(shè)值為零，則最后一個(gè)括號(hào)與常數(shù)項(xiàng)之和必為零，通過(guò)最后一個(gè)號(hào)與常數(shù)項(xiàng)之和等于零的方程式，可求出一個(gè)元素值來(lái)，把求出的元素代入方程組中，這樣就變成特殊的 八元二次四式方程組，而方程組中每一式都可移項(xiàng)開(kāi)方變成多元一次方程式。

44、所以方程組又變成八元一次四式方程組了，如果把八元中四個(gè)元素暫當(dāng)成已知數(shù)，來(lái)求另四個(gè)元素，則另四個(gè)元素中每個(gè)元素必可用那四個(gè)元素來(lái)表示，所表示的情況，連同已直接求出的那個(gè)元素代入原先已配好的立方括號(hào)內(nèi)去，只合并同類項(xiàng)而不展開(kāi)。

45、立方括號(hào)外也同樣代入，但要展開(kāi)和合并同類項(xiàng)，因此立方括號(hào)內(nèi)含五個(gè)元素，括號(hào)外只含四個(gè)元素的代數(shù)式了，現(xiàn)在可以對(duì)括號(hào)外的代數(shù)式選中一個(gè)元素全配方在一個(gè)括號(hào)立方之內(nèi)了，為了把那個(gè)選擇好的元素的立方項(xiàng)系數(shù)變成1，整個(gè)方程同除以那個(gè)系數(shù)就行，同上理要把它配成缺平方項(xiàng)的形式，不需要對(duì)其他元素另外設(shè)值，只是成了新元素形式。

46、當(dāng)把新元素一次方項(xiàng)的系數(shù)設(shè)成零，則又一個(gè)元素全配成在另一個(gè)立方括號(hào)內(nèi)了，，設(shè)值的結(jié)果是三元二次函數(shù)式了，用上面同樣的方法，可將這個(gè)三元二次函數(shù)配成三個(gè)括號(hào)平方和或差及一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，把前二個(gè)括號(hào)平方和或差設(shè)成等于零，則后一個(gè)括號(hào)與常數(shù)之和或差必是零。

47、通過(guò)后一個(gè)括號(hào)平方與常數(shù)組成的方程又可解出一個(gè)元素值。

48、代入前二個(gè)括號(hào)平方和或差等于零的方程中，移項(xiàng)開(kāi)平方，變成二元一次方程，通過(guò)這個(gè)二元一次方程，其中一個(gè)元素值可以用另一個(gè)元素來(lái)表示了，把這種表示方式連同已算出的元素值代入第一個(gè)配成的括號(hào)立方之內(nèi)變成只含三個(gè)元素的括號(hào)立方，代入第二個(gè)配好的括號(hào)立方內(nèi)變成只含二個(gè)元素的括號(hào)立方，代入括號(hào)立方之外的函數(shù)中則變成一個(gè)元素的代數(shù)形式，我們?cè)O(shè)值括號(hào)外的代數(shù)式等于零，則解一個(gè)一元三次方程便可求出，求出后代入二個(gè)先后配好的括號(hào)立方之內(nèi)，則變成前一括號(hào)立方內(nèi)只含二個(gè)元素，后一個(gè)括號(hào)立方只含一個(gè)元素，通過(guò)移項(xiàng)開(kāi)立方變成只含二個(gè)元素的一次方方程式。

49、這樣，原先的十元四次二式方程組中的第1式就變成了二元一次方程式了，而最先多元方程組中第2式的消元過(guò)程，應(yīng)當(dāng)是和第1式消元過(guò)程是同步進(jìn)行的，第二式應(yīng)當(dāng)變成二元四次方程式了。

50、因?yàn)檫@樣的方程組可以通過(guò)人類現(xiàn)有的知識(shí)解出。

51、把十個(gè)系數(shù)的求出，代入到前面配成的多元五次方程，得出特殊的一元五次方程，求出最后一個(gè)系數(shù)，此時(shí)已算出和原題一元五次方程有同解的一元十一次方程了。

52、有人問(wèn)，這樣算出的方程會(huì)不會(huì)包含一元五次方程的所有解呢，現(xiàn)在我們可以進(jìn)行分析一下，用一元十一次方程左式去整除一元五次方程左式后，余式中未知數(shù)的系數(shù)則都是由十一個(gè)系數(shù)的一次方代數(shù)式出現(xiàn)，而這些系數(shù)只有最后一個(gè)系數(shù)的求出要解特殊五次方方程，并要開(kāi)5次方根，這個(gè)5次方根通常無(wú)法被其它元素所消除，因此說(shuō)通常情況下二方程之間不可能包含有5個(gè)相同的解。

53、根據(jù)公解方程推導(dǎo)定理，一般情況下能推導(dǎo)出低于五次方的一元方程出來(lái)。

54、所以說(shuō)阿貝爾定理認(rèn)為五次或高于五次的一元高次方程無(wú)一般代數(shù)求根公式的看法是錯(cuò)誤的。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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