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負(fù)定矩陣和負(fù)半定矩陣(負(fù)定矩陣)

導(dǎo)讀 關(guān)于負(fù)定矩陣和負(fù)半定矩陣,負(fù)定矩陣這個(gè)問題很多朋友還不知道,今天小六來為大家解答以上的問題,現(xiàn)在讓我們一起來看看吧!1、一 定義

關(guān)于負(fù)定矩陣和負(fù)半定矩陣,負(fù)定矩陣這個(gè)問題很多朋友還不知道,今天小六來為大家解答以上的問題,現(xiàn)在讓我們一起來看看吧!

1、一. 定義 因?yàn)檎ǘ涡团c正定矩陣有密切的聯(lián)系,所以在定義正定矩陣之前,讓我們先定義正定二次型: 設(shè)有二次型 ,如果對(duì)任何x 0都有f(x)>0( 0) ,則稱f(x) 為正定(半正定)二次型。

2、 相應(yīng)的,正定(半正定)矩陣和負(fù)定(半負(fù)定)矩陣的定義為: 令A(yù)為 階對(duì)稱矩陣,若對(duì)任意n 維向量 x 0都有 >0(≥0)則稱A正定(半正定)矩陣;反之,令A(yù)為n 階對(duì)稱矩陣,若對(duì)任意 n 維向量 x≠0 ,都有 <0(≤ 0), 則稱A負(fù)定(半負(fù)定)矩陣。

3、 例如,單位矩陣E 就是正定矩陣。

4、 二. 正定矩陣的一些判別方法 由正定矩陣的概念可知,判別正定矩陣有如下方法: 1.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個(gè)特征值全是正數(shù)。

5、 證明:若 , 則有 ∴λ>0 反之,必存在U使 即 有 這就證明了A正定。

6、 由上面的判別正定性的方法,不難得到A為半正定矩陣的充要條件是:A的特征值全部非負(fù)。

7、 2.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。

8、 證明:A正定 二次型 正定 A的正慣性指數(shù)為n 3.n階對(duì)稱矩陣A正定(半正定)的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ;進(jìn)一步有 (B為正定(半正定)矩陣)。

9、 證明:n階對(duì)稱矩陣A正定,則存在可逆矩陣U使 令 則 令 則 反之, ∴A正定。

10、 同理可證A為半正定時(shí)的情況。

11、 4.n階對(duì)稱矩陣A正定,則A的主對(duì)角線元素 ,且 。

12、 證明:(1)∵n階對(duì)稱矩陣A正定 ∴ 是正定二次型 現(xiàn)取一組不全為0 的數(shù)0,…,0,1,0…0(其中第I個(gè)數(shù)為1)代入,有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩陣C ,使 5.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是:A的 n 個(gè)順序主子式全大于零。

13、 證明:必要性: 設(shè)二次型 是正定的 對(duì)每個(gè)k,k=1,2,…,n,令 , 現(xiàn)證 是一個(gè)k元二次型。

14、 ∵對(duì)任意k個(gè)不全為零的實(shí)數(shù) ,有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩陣 是正定矩陣 即 即A的順序主子式全大于零。

15、 充分性: 對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)n=1時(shí), ∵ , 顯然 是正定的。

16、 假設(shè)對(duì)n-1元實(shí)二次型結(jié)論成立,現(xiàn)在證明n元的情形。

17、 令 , , ∴A可分塊寫成 ∵A的順序主子式全大于零 ∴ 的順序主子式也全大于零 由歸納假設(shè), 是正定矩陣即,存在n-1階可逆矩陣Q使 令 ∴ 再令 , 有 令 , 就有 兩邊取行列式,則 由條件 得a>0 顯然 即A合同于E , ∴A是正定的。

18、 三. 負(fù)定矩陣的一些判別方法 1.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的負(fù)慣性指數(shù)為n。

19、 2.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的特征值全小于零。

20、 3.n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足 , 即奇數(shù)階順序主子式全小于零,偶數(shù)階順序主子式全大于零。

21、 由于A是負(fù)定的當(dāng)且僅當(dāng)-A是正定的,所以上敘結(jié)論不難從正定性的有關(guān)結(jié)論直接得出,故證明略。

22、 四.半正定矩陣的一些判別方法 1. n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數(shù)等于它的秩。

23、 2. n階對(duì)稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零,但至少有一個(gè)特征值等于零。

24、 3. n階對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零,但至少有一個(gè)主子式等于零。

25、 注:3中指的是主子式而不是順序主子式,實(shí)際上,只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的,例如: 矩陣 的順序主子式 , , , 但A并不是半正定的。

26、 關(guān)于半負(fù)定也有類似的定理,這里不再寫出。

本文分享完畢,希望對(duì)大家有所幫助。

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