斐波那契數(shù)列公式證明（斐波那契數(shù)列公式）

關(guān)于斐波那契數(shù)列公式證明，斐波那契數(shù)列公式這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 如果設(shè)F(n)為該數(shù)列的第n項(xiàng)(n∈N+)。

2、那么這句話可以寫(xiě)成如下形式：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)顯然這是一個(gè)線性遞推數(shù)列。

3、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法一：利用特征方程線性遞推數(shù)列的特征方程為：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n∵F(1)=F(2)=1∴C1*X1 + C2*X2C1*X1^2 + C2*X2^2解得C1=1/√5，C2=-1/√5∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號(hào)5】通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法二：普通方法設(shè)常數(shù)r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]則r+s=1, -rs=1n≥3時(shí)，有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]將以上n-2個(gè)式子相乘，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]∵s=1-r，F(xiàn)(1)=F(2)=1上式可化簡(jiǎn)得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那么：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)（這是一個(gè)以s^(n-1)為首項(xiàng)、以r^(n-1)為末項(xiàng)、r/s為公差的等比數(shù)列的各項(xiàng)的和）=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(s^n - r^n)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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