橢圓的標準方程（雙曲線的標準方程）

關于橢圓的標準方程，雙曲線的標準方程這個問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、x2/2-y2/2=1[編輯本段]·雙曲線的第一定義數(shù)學上指一動點移動于一個平面上，與平面上兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值始終為一定值2a(2a小于F1和F2之間的距離即2a<2c)時所成的軌跡叫做雙曲線(Hyperbola)。

2、兩個定點F1,F2叫做雙曲線的左，右焦點(focus)。

3、兩焦點的距離叫焦距，長度為2c。

4、其中2a在坐標軸上的端點叫做頂點，c^2=a^2+b^2 (a=長半軸，b=短半軸)[編輯本段]·雙曲線的第二定義1.文字語言定義平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)。

5、定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線,常數(shù)e是雙曲線的離心率。

6、2.集合語言定義設 雙曲線上有一動點M,定點F,點M到定直線距離為d, 這時稱集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的點集是雙曲線. 注意:定點F要在定直線外 且 比值大于1.3.標準方程設 動點M(x,y),定點F(c,0),點M到定直線l:x=a^2/c的距離為d, 則由 |MF|/d=e>1. 推導出的雙曲線的標準方程為 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 這是中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線標準方程. 而中心在原點,焦點在y軸上的雙曲線標準方程為: (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.[編輯本段]·雙曲線的簡單幾何性質軌跡上一點的取值范圍:x≥a,x≤-a(焦點在x軸上)或者y≥a,y≤-a(焦點在y軸上)。

7、 2、對稱性:關于坐標軸和原點對稱。

8、 3、頂點:A(-a,0)， A’(a,0)。

9、同時 AA’叫做雙曲線的實軸且∣AA’│=2a. B(0,-b)， B’(0,b)。

10、同時 BB’叫做雙曲線的虛軸且│BB’│=2b. 4、漸近線: 焦點在x軸:y=±(b/a)x. 焦點在y軸:y=±(a/b)x. 圓錐曲線ρ=ep/1-ecosθ當e>1時，表示雙曲線。

11、其中p為焦點到準線距離，θ為弦與X軸夾角 令1-ecosθ=0可以求出θ，這個就是漸近線的傾角。

12、θ=arccos(1/e) 令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 這兩個x是雙曲線定點的橫坐標。

13、 求出他們的中點的橫坐標(雙曲線中心橫坐標) x=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2 (注意化簡一下) 直線ρcosθ=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2 是雙曲線一條對稱軸，注意是不與曲線相交的對稱軸。

14、 將這條直線順時針旋轉PI/2-arccos(1/e)角度后就得到漸近線方程，設旋轉后的角度是θ’ 則θ’=θ-【PI/2-arccos(1/e)】 則θ=θ’+【PI/2-arccos(1/e)】 帶入上式: ρcos{θ’+【PI/2-arccos(1/e)】}=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2 即:ρsin【arccos(1/e)-θ’】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2 現(xiàn)在可以用θ取代式中的θ’了 得到方程:ρsin【arccos(1/e)-θ】=【(ep/1-e)+(-ep/1+e)】/2 5、離心率: 第一定義: e=c/a 且e∈(1，+∞). 第二定義:雙曲線上的一點P到定點F的距離│PF│ 與 點P到定直線(相應準線)的距離d 的比等于雙曲線的離心率e. d點(│PF│)/d線(點P到定直線(相應準線)的距離)=e 6、雙曲線焦半徑公式(圓錐曲線上任意一點P(x,y)到焦點距離) 右焦半徑:r=│ex-a│ 左焦半徑:r=│ex+a│ 7、等軸雙曲線 一雙曲線的實軸與虛軸長相等 即:2a=2b 且 e=√2 8、共軛雙曲線 雙曲線S’的實軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S’的虛軸是雙曲線S的實軸時，稱雙曲線S’與雙曲線S為共軛雙曲線。

15、 幾何表達:S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S’:(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特點:(1)共漸近線 (2)焦距相等 (3)兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1 9、準線: 焦點在x軸上:x=±a^2/c 焦點在y軸上:y=±a^2/c 10、通徑長:(圓錐曲線(除圓外)中，過焦點并垂直于軸的弦) d=2b^2/a 1過焦點的弦長公式: d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p為焦點到準線距離，θ為弦與X軸夾角] 12、弦長公式: d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推導如下: 由 直線的斜率公式:k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分別代入兩點間的距離公式:|AB| = √[(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 ] 稍加整理即得: |AB| = |x1 - x2|√(1 + k2) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k2) 雙曲線的概念 把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣?它的方程是怎樣的呢? 1.簡單實驗(邊演示、邊說明) 如圖2-23，定點FF2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M移動時，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支;由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支. 注意:常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線. 2.設問 問題1:定點FF2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線? 請學生回答，不能.強調“在平面內”. 問題2:|MF1|與|MF2|哪個大? 請學生回答，不定:當M在雙曲線右支上時，|MF1|＞|MF2|;當點M在雙曲線左支上時，|MF1|＜|MF2|. 問題3:點M與定點FF2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|? 請學生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|.正確表示為||MF2|-|MF1||. 問題4:這個常數(shù)是否會大于等于|F1F2|? 請學生回答，應小于|F1F2|且大于零.當常數(shù)=|F1F2|時，軌跡是以FF2為端點的兩條射線;當常數(shù)＞|F1F2|時，無軌跡. 3.定義 在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義: 平面內與兩定點FF2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點FF2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距. 教師指出:雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記. (三)雙曲線的標準方程 現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這時設問:求橢圓的方程的一般步驟方法是什么?不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導. 標準方程的推導: (1)建系設點 取過焦點FF2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24) 建立直角坐標系. 設M(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么FF2的坐標分別是(-c，0)、(c，0).又設點M與FF2的距離的差的絕對值等于常數(shù). (2)點的集合 由定義可知，雙曲線就是集合: P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}. (3)代數(shù)方程 (4)化簡方程(由學生演板) 將這個方程移項，兩邊平方得: 化簡得: 兩邊再平方，整理得: (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2). (以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導.) 由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0. 設c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得: b2x2-a2y2=a2b2. 這就是雙曲線的標準方程. 兩種標準方程的比較(引導學生歸納): 教師指出: (1)雙曲線標準方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b; (2)如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上;如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上. (3)雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2. (四)練習與例題 1.求滿足下列的雙曲線的標準方程: 焦點F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4; 3.已知兩點F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程.如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況? 由教師講解: 按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42. 因為2a=12，2c=10，且2a＞2c. 所以動點無軌跡. (五)小結 1.定義:平面內與兩定點FF2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡. 3.圖形(見圖2-25): 4.焦點:F1(-c，0)、F2(c，0);F1(0，-c)、F2(0，c). 5.a、b、c的關系:c2=a2+b2;c=a2+b2. 五、布置作業(yè) 1.根據下列條件，求雙曲線的標準方程: (1)焦點的坐標是(-6，0)、(6，0)，并且經過點A(-5，2); 3.已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點坐標. 作業(yè)答案: 2.由(1+k)(1-k)＜0解得:k＜-1或k＞1[編輯本段]·雙曲線的標準公式與反比例函數(shù)X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函數(shù)的標準型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函數(shù)確實是雙曲線函數(shù)經過旋轉得到的 因為xy = c的對稱軸是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的對稱軸是x軸，y軸 所以應該旋轉45度 設旋轉的角度為 a (a≠0,順時針) (a為雙曲線漸進線的傾斜角) 則有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 則 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此證得，反比例函數(shù)其實就是雙曲線函數(shù).只不過是雙曲線在平面直角坐標系內的另一種擺放形式.[編輯本段]·雙曲線焦點三角形面積公式若∠F1PF2=θ, 則S△F1PF2=b2·cot(θ/2) ·例:已知FF2為雙曲線C:x2-y2=1的左右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60°，則P到x軸的距離為多 少? 解:有雙曲線焦點三角形面積公式得S△F1PF2=b2·cot(θ/2)=1×cot30°， 設P到x軸的距離為h，則S△F1PF2=?×F1F2×h=?2√2×h=√3， h=√6/2。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。

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