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周期函數(shù)的常用結論證明(周期函數(shù)的常用結論)

導讀 關于周期函數(shù)的常用結論證明,周期函數(shù)的常用結論這個問題很多朋友還不知道,今天小六來為大家解答以上的問題,現(xiàn)在讓我們一起來看看吧!1

關于周期函數(shù)的常用結論證明,周期函數(shù)的常用結論這個問題很多朋友還不知道,今天小六來為大家解答以上的問題,現(xiàn)在讓我們一起來看看吧!

1、下面是周期函數(shù)性質(1)若T(≠0)是f(X)的周期,則-T也是f(X)的周期。

2、(2)若T(≠0)是f(X)的周期,則nT(n為任意非零整數(shù))也是f(X)的周期。

3、(3)若T1與T2都是f(X)的周期,則T1±T2也是f(X)的周期。

4、(4)若f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整數(shù)倍。

5、(5)T*是f(X)的最小正周期,且TT2分別是f(X)的兩個周期,則 (Q是有理數(shù)集)(6)若TT2是f(X)的兩個周期,且T1/T2是無理數(shù),則f(X)不存在最小正周期。

6、(7)周期函數(shù)f(X)的定義域M必定是雙方無界的集合。

7、編輯本段周期函數(shù)的判定定理1若f(X)是在集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù)則K f(X)+C(K≠0)和1/ f(X)分別是集M和集{X/ f(X) ≠0,X }上的以T*為最小正周期的周期函數(shù)。

8、 [1]證:∵T*是f(X)的周期,∴對 有X±T* 且f(X+T*)= f(X),∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C,∴K f(X)+C也是M上以T*為周期的周期函數(shù)。

9、假設T* 不是Kf(X)+C的最小正周期,則必存在T’( 0<T’<T*)是K f(X)+C的周期,則對 ,有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0,∵K≠0,∴f(X+T’)- f(X)=0,∴f(X+T’)= f(X),∴T’是f(X)的周期,與T*是f(X)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。

10、同理可證1/ f(X)是集{X/ f(X) ≠0,X }上的以T*為最小正周期的周期函數(shù)。

11、定理2若f(X)是集M上以T*為最小正周期的周期函數(shù),則f(aX+n)是集{X/aX+ n }上的以T*/ 為最小正周期的周期函數(shù),(其中a、b為常數(shù))。

12、證:先證 是f(ax+b)的周期∵T*是f(X)的周期,∴ ,有X±T*∈M,∴a(X )+b=ax+b ±T*∈M,且f[a(X+ T )+b]=f(ax+b±T*)=f(ax+b)∴ 是f(ax+b)的周期。

13、再證 是f(ax+b)的最小正周期假設存在T’(0<T’< )是f(ax+b)的周期,則f(a(x+T’)+b)=f(ax+b),即f(ax+b+aT’)=f(ax+b),因當X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各數(shù)時,ax+b就取遍M所有的各數(shù),∴aT’是f(X)的周期,但 <=T*這與T*是f(X)的最小正周期矛盾。

14、定理3設f(u)是定義在集M上的函數(shù)u=g(x)是集M1上的周期函數(shù),且當X∈M1時,g(x)∈M,則復合函數(shù)f(g(x))是M1上的周期函數(shù)。

15、證:設T是u=g(x)的周期,則 1有(x±T)∈M1且g(x+T)=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))∴=f(g(x))是M1上的周期函數(shù)。

16、例1設=f(u)=u2是非周期函數(shù),u= g(X)=cosx是實數(shù)集R上的周期函數(shù),則f(g(x))=cos2x是R上的周期函數(shù)。

17、同理可得:(1)f(X)=Sin(cosx),(2)f(X)=Sin(tgx),(3)f(X)=Sin2x,(4)f(n)=Log2Sinx(sinx>0)也都是周期函數(shù)。

18、例2f(n)=Sinn是周期函數(shù),n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函數(shù),f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函數(shù)(中學數(shù)學中已證)。

19、例3f(n)=cosn是周期函數(shù),n=g(x)= (非周期函數(shù))而f(g(x))=cos 是非周期函數(shù)。

20、證:假設cos 是周期函數(shù),則存在T>0使cos (k∈Z) 與定義中T是與X無關的常數(shù)矛盾,∴cos 不是周期函數(shù)。

21、由例2、例3說明,若f(u)是周期函數(shù),u= g(X)是非周期函數(shù),這時f(g(x))可能是,也可能不是周期函數(shù)。

22、定理4設f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函數(shù),TT2分別是它們的周期,若T1/T2∈Q則它們的和差與積也是M上的周期函數(shù),T1與T2的公倍 數(shù)為它們的周期。

23、證:設 ((p?q)=1)設T=T1q=T2p則有: 有(x±T)=(x±T1q)=(x±T2p)∈M,且f1(x+T) ±f2(x+T)= f1(x+T1q) ±f2(x+T2p)= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍數(shù)T為周期的周期函數(shù)。

24、同理可證:f1(X) 、f2(X)是以T為周期的周期函數(shù)。

25、定理4推論設f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限個周期函數(shù)TT2……Tn分別是它們的周期,若, … (或T1,T2……Tn中任意兩個之比)都是有理數(shù),則此n個函數(shù)之和、差、積也是M上的周期函數(shù)。

26、例4f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 數(shù)2π為周期的周期函數(shù)。

27、例5討論f(X)= 的周期性解:2tg3 是以T1= 為最小正周期的周期函數(shù)。

28、5tg 是以T2 為最小正周期的周期函數(shù)。

29、tg2 是以T3= 為最小正周期的周期函數(shù)。

30、又 都是有理數(shù)∴f(X)是以TT2、T3最小公倍數(shù)(TT2、T3)= 為最小正周期的周期函數(shù)。

31、同理可證:(1)f(X)=cos ;(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。

32、是周期函數(shù)。

33、定理5設f1(x)=sin a1x,f2(x)=cosa2x,則f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函數(shù)的充要條件是a1/a2∈Q。

34、證先證充分性:若a1/a2∈Q,設TT2分別為f1(x)與f2(x)的最小正周期,則T1= 、T2= ,又 ∈Q由定理4可得f1(x)與f2(x)之和、差、積是周期函數(shù)。

35、再證必要性(僅就f1(x)與f2(x)的差和積加以證明)。

36、(1)設sina1x-cosa2x為周期函數(shù),則必存在常數(shù)T>0,使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。

37、令x= 得2cos(a1x+ ),則 (K∈Z)。

38、(2)或 C∈Z(3)又在(1)中令 2sin(a2x+ )sin =-2sin =0由(4)由sin (5)由上述(2)與(3),(4)與(5)都分別至少有一個成立。

39、由(3)、(5得 )(6)∴無論(2)、(4)、(6)中那一式成立都有a1/a2 。

40、(2)設sinaxcosa2x為周期函數(shù),則 是周期函數(shù)。

41、編輯本段非周期函數(shù)的判定[1](1)若f(X)的定義域有界例:f(X)=cosx( ≤10)不是周期函數(shù)。

42、(2)根據(jù)定義討論函數(shù)的周期性可知非零實數(shù)T在關系式f(X+T)= f(X)中是與X無關的,故討論時可通過解關于T的方程f(X+T)- f(X)=0,若能解出與X無關的非零常數(shù)T便可斷定函數(shù)f(X)是周期函數(shù),若這樣的T不存在則f(X)為非周期函數(shù)。

43、例:f(X)=cos 是非周期函數(shù)。

44、(3)一般用反證法證明。

45、(若f(X)是周期函數(shù),推出矛盾,從而得出f(X)是非周期函數(shù))。

46、例:證f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函數(shù)。

47、證:假設f(X)=ax+b是周期函數(shù),則存在T(≠0),使對 ,a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0,∴T=0與T≠0矛盾,∴f(X)是非周期函數(shù)。

48、例:證f(X)= 是非周期函數(shù)。

49、證:假設f(X)是周期函數(shù),則必存在T(≠0)對 ,有(x+T)= f(X),當x=0時,f(X)=0,但x+T≠0, ∴f(x+T)=1,∴f(x+T) ≠f(X)與f(x+T)= f(X)矛盾,∴f(X)是非周期函數(shù)。

50、例:證f(X)=sinx2是非周期函數(shù)證:若f(X)= sinx2是周期函數(shù),則存在T(>0),使對 ,有sin(x+T)2=sinx2,取x=0有sinT2=sin0=0,∴T2=Kπ(K∈Z),又取X= T有sin( T+T)2=sin( T)2=sin2kπ=0,∴( +1)2T2=Lπ(L∈Z+),∴與3+2 是無理數(shù)矛盾,∴f(X)=sinx2是非周期函數(shù)。

本文分享完畢,希望對大家有所幫助。

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