裴波那契數(shù)列的規(guī)律（裴波那契數(shù)列）

關(guān)于裴波那契數(shù)列的規(guī)律，裴波那契數(shù)列這個(gè)問(wèn)題很多朋友還不知道，今天小六來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題，現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：2、3、5、8、13、2……這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。

2、隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越來(lái)越逼近黃金分割的數(shù)值0.6180339887……起源1202年數(shù)學(xué)家菲波那契提出了一個(gè)著名的兔子問(wèn)題：假定一對(duì)兔子從第三個(gè)月起逐月生一對(duì)一雌一雄的小兔，每對(duì)小兔在兩個(gè)月后也逐月生一對(duì)一雌一雄的小兔，…。

3、問(wèn)一年之后兔房里共有多少對(duì)兔子？ 　　菲波那契是這樣來(lái)考慮的：設(shè)第n個(gè)月后兔房里的兔子數(shù)為an對(duì)，這an應(yīng)由以下兩部分組成：一部分是第n﹣1個(gè)月時(shí)已經(jīng)在兔房里的兔子，它們有an﹣1對(duì)；另一部分是第n個(gè)月中新出世的，而這部分應(yīng)有第n﹣2個(gè)月時(shí)兔房里的兔子所生，有a n﹣2對(duì)。

4、 　　∴有遞推關(guān)系式(An+1)=(An)+(An-1)（n∈N且n＞2），且易知A1=A2 =1。

5、由這個(gè)遞推關(guān)系式可以得到一年后的兔子對(duì)數(shù)A12=141。

6、這也是遞推方法應(yīng)用的一個(gè)最著名的例子。

7、 　　按照如上的遞推，菲波拉契數(shù)列前幾項(xiàng)如下： 　　1 1 2 3 5 8 13 21…… 　　從數(shù)學(xué)上，該數(shù)列也是可以推導(dǎo)出通項(xiàng)公式的，其通項(xiàng)公式推導(dǎo)如下： 　　(An+1)=(An)+(An-1),將An項(xiàng)分解為(((1+√5)/2)+((1-√5)/2))(An)，然后移項(xiàng)，得到下式： 　　(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)(An)+(An-1) 　　即(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)((An)-((1+√5)/2)(An-1)) 　　即新數(shù)列{(An)+((1+√5)/2)(An-1)}是以((1-√5)/2)為首項(xiàng)，((1-√5)/2)為公比的等比數(shù)列 　　即(An)-((1+√5)/2)(An-1)=((1-√5)/2)^n 　　即(An)=((1+√5)/2)(An-1)+((1-√5)/2)^n 　　兩邊同時(shí)除以((1+√5)/2)^n，得又一新數(shù)列(Bn)=(Bn-1)+(((1-√5)/2)^n)/(((1+√5)/2)^(n+1)) 　　其中，(Bn)=An/(((1+√5)/2)^n) 　　依次遞歸，得到(Bn)=((1+√5)/2)^(-1)+2*(((1-√5)/(1+√5)^2)+(((1-√5)^2)/(1+√5)^3)+……+(((1-√5)^(n-1))/(1+√5)^n)) 　　將Bn帶入，化簡(jiǎn)，得到An=((((1+√5)/2)^n)-(((1-√5)/2)^n))/(√5) 　　(注√表示根號(hào)) 　　該數(shù)列有以下幾個(gè)性質(zhì)： 　　1.隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越逼近黃金分割比 　　2.從第二項(xiàng)開始，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1，每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1 　　3.如果任意挑兩個(gè)數(shù)為起始，按照菲波拉契數(shù)列的形勢(shì)遞推下去，隨著數(shù)列的發(fā)展，前后兩項(xiàng)之比也越來(lái)越逼近黃金分割比，且某一項(xiàng)的平方與前后兩項(xiàng)之積的差值也交替相差某個(gè)值(菲波拉契數(shù)列的推廣)。

本文分享完畢，希望對(duì)大家有所幫助。

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